Question

2．已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当$a=\frac{1}{8}$时，证明：存在x₀∈（2，+∞），使$f（{x_0}）=f（{\frac{3}{2}}）$；
（3）若存在属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明：$\frac{ln3-ln2}{5}≤a≤\frac{ln2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性得到$f（{\frac{3}{2}}）＜f（2）$，从而证明结论；
（3）根据函数的单调性得到1≤α≤2≤β≤3，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由题意得函数f（x）=lnx-ax²的定义域为$（{0，+∞}），f'（x）=\frac{1}{x}-2ax=\frac{{1-2a{x^2}}}{x}$，
当a≤0时，f'（x）＞0，则函数f（x）=lnx-ax²在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，x＞0，由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}$，由f'（x）＜0得$x＞\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}}）$上单调递增；在$（{\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}，+∞}）$上单调递减，
综上所述，结论是a≤0时，函数f（x）=lnx-ax²的单调增区间为（0，+∞）；
a＞0时，函数f（x）=lnx-ax²的单调增区间为$（{0，\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}}）$，单调减区间为$（{\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}，+∞}）$．
（2）证明：当$a=\frac{1}{8}$时，函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
则$f（{\frac{3}{2}}）＜f（2）$，又f（x）在（2，+∞）上的值域为（-∞，f（2）），
∴存在x₀∈（2，+∞），使$f（{x_0}）=f（{\frac{3}{2}}）$，综上所述，结论证明成立．
（3）证明：f（α）=f（β），由（1）知$α＜\frac{{\sqrt{2a}}}{2a}＜β$，
又β-α≥1，α，β∈[1，3]，所以1≤α≤2≤β≤3，
所以$\left\{\begin{array}{l}f（2）≥f（α）≥f（1）\\ f（2）≥f（β）≥f（3）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ln2-4a≥-a\\ ln2-4a≥ln3-9a\end{array}\right.$，
所以$\frac{ln3-ln2}{5}≤a≤\frac{ln2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．