Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F（1，0）为右焦点，过F的直线l交椭圆C与M，N两点，当直线l垂直于x轴时，直线OM的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P为椭圆上一动点，四边形ONPM的面积为S，如果四边形ONPM是平行四边形，且S=λb²，试求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F（1，0）为右焦点，过F的直线l交椭圆C与M，N两点，当直线l垂直于x轴时，直线OM的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，列出方程求出a，b的值，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l：x=my+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0．由此利用韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出λ的值．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F（1，0）为右焦点，∴c=1，
∵过F的直线l交椭圆C与M，N两点，当直线l垂直于x轴时，M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵直线OM的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-1}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\sqrt{3}{a}^{2}-2a-\sqrt{3}=0$，…（2分）
解得a=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（5分）
（2）设直线l：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0．
由根与系数关系可知，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-4}{2{m}^{2}+3}$，…（7分）
设线段MN的中点坐标为（x₀，y₀），
则${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{-2m}{2{m}^{2}+3}$，${x}_{0}=m{y}_{0}+1=\frac{3}{2{m}^{2}+3}$，
∴点P的坐标为（$\frac{6}{2{m}^{2}+3}，\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$）．又P∈C，
则点P坐标满足椭圆的方程，得2m²=1，即${m}^{2}=\frac{1}{2}$，
∴y₁+y₂=-m，y₁y₂=-1，…（10分）
因此S=$c|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{{m}^{2}+4}$=λb²=2λ，
解得$λ=\frac{3\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．