Question

19．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 由题意知旧球个数X的所有可能取值为3，4，5，6．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望Ex．

解答 解：由题意知旧球个数X的所有可能取值为3，4，5，6．
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{9}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{108}{220}$=$\frac{27}{55}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{84}{220}=\frac{21}{55}$，
故X的分布列为：

X	3	4	5	6
p	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

Ex=$3×\frac{1}{220}+4×\frac{27}{220}+5×\frac{27}{55}+6×\frac{21}{55}$=$\frac{21}{4}$．

点评 本题离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查数据处理能力、运算求解能力，属于中档题．