Question

9．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是$\frac{1}{3}$，从B中摸出一个红球的概率为p．
（1）从A中又放回的摸球，每次摸出一个，共摸5次
①恰好有3次摸到红球的概率；②第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
（2）若A、B两个袋子中的球之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是$\frac{2}{5}$，求p的值．

Answer 1

分析 （1）①利用相互独立事件的概率公式运算求得结果．
②由于每次摸出一个红球的概率都是$\frac{1}{3}$，即可求出第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
（2）设袋子A中有m个球，袋子B中有2m个球，由$\frac{{\frac{1}{3}m+2mp}}{3m}=\frac{2}{5}$，求得p的值．

解答 解：（1）①由于每次摸出一个红球的概率是$\frac{1}{3}$，摸不到红球的概率为$\frac{2}{3}$，故恰好有3次摸到红球的概率$C_5^3×{（{\frac{1}{3}}）^3}×{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{40}{243}$．
②由于每次摸出一个红球的概率都是$\frac{1}{3}$，故第一次、第三次、第五次摸到红球的概率为${（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{1}{27}$．
（Ⅱ）设袋子A中有m个球，袋子B中有2m个球，
由$\frac{{\frac{1}{3}m+2mp}}{3m}=\frac{2}{5}$，得$p=\frac{13}{30}$

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式的应用，属于中档题．