Question

17．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，

x	-1	0	4
f（x）	1	2	2

f（x）的导函数y=f′（x）的图象（该图象关于（2，0）中心对称） 如图所示．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为 0与4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③函数y=f（x）-a零点的个数可能为0、1、2、3、4个；
④如果当时x∈[-1，t]，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；．
⑤函数f（x）的图象在[2，4]是上凸的
其中一定正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①，根据函数的单调性和特殊值，可判断真假；
②，根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2]上的单调性，进而判断③的真假；，；
③，由导函数y=f′（x）的图象可知函数f（x）的大致图象如图，函数y=f（x）与直线y=a的图象有四个交点可能为0、1、2、4个，可判断真假；
④，根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，进而判断③的真假；
⑤，根据函数f（x）的大致图象，判断

解答 ①②④解：对于①，∵由导函数的图象知，函数f（x）的最大值点为0与4，故①正确；
对于②，由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；
对于③，由导函数y=f′（x）的图象可知，函数在[-1，0]，[2，4]上为增函数，
则[0，2]，[4，5]上为减函数，且函数在x=0和x=4取得极大值f（0）=2，f（4）=2，
在x=2取得极小值f（2）=0，则函数f（x）的大致图象如图：则函数y=f（x）与直线y=a的图象有四个交点可能为0、1、2、4个，即③错误
对于④，由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即④正确；
对于⑤，根据函数f（x）的大致图象，判断⑤错误；
故答案为：①②④．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知，分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．