Question

2．已知函数f（x）=e^x-mx，
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，分离出m，令h（x）=$\frac{{e}^{x}-lnx{+x}^{2}}{x}$，由此能求出函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-m，
若m≤0，则f′（x）＞0恒成立，
f（x）在R递增，无递减区间；
m＞0时，由f′（x）=0，得：x=lnm，
令f′（x）＞0，解得：x＞lnm，
令f′（x）＜0，解得：x＜lnm，
故f（x）在（-∞，lnm）递减，在（lnm，+∞）递增；
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=$\frac{{e}^{x}-lnx{+x}^{2}}{x}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-lnx{+x}^{2}}{x}$，
则h′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}{+x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时，m的取值范围是（e+1，+∞）．

点评 本题考查函数最小值的求法和函数存在两个零点时求m的两个取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的应用．