Question

18．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为-1，$\overrightarrow{AB}$对应的复数为2+2i，$\overrightarrow{BC}$对应的复数为4-4i．
（Ⅰ）求D点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．
（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为-1，$\overrightarrow{AB}$对应的复数为2+2i，
得A（-1，0），$\overrightarrow{AB}$=（2，2），可得B（1，2）．
  又$\overrightarrow{BC}$对应的复数为4-4i，得$\overrightarrow{BC}$=（4，-4），可得C（5，-2）．
设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．
得$\overrightarrow{CD}$=（x-5，y+2），$\overrightarrow{BA}$=（-2，-2）．
∵ABCD 为平行四边形，∴$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CD}$，解得x=3，y=-4，
故D点对应的复数为3-4i．
（Ⅱ）$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{BC}$=（4，-4），
可得：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，∴$\overrightarrow{AB}$$⊥\overrightarrow{BC}$．
又|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{BC}|$=4$\sqrt{2}$．
故平行四边形ABCD的面积=$2\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=16．

点评 本题考查了复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．