Question

18．对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x²+x+1； ②f（x）=$\sqrt{|x|}$； ③f（x）=sin（x²）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数”的有（　　）

• A． ②③
• B． ③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．

解答 解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）²+（x+a）+1≤x²+x+1+b，
即2ax≤-a²-a+b，即x≤$\frac{-{a}^{2}-a+b}{2a}$对一切x∈R均成立，
由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x²+x+1不是“控制增长函数”；
对于②，若f（x）=$\sqrt{|x|}$是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：$\sqrt{|x+a|}$≤$\sqrt{|x|}$+b，
∴|x+a|≤|x|+b²+2b$\sqrt{|x|}$恒成立，又|x+a|≤|x|+a，
∴|x|+a≤|x|+b²+2b$\sqrt{|x|}$，∴$\sqrt{|x|}$≥$\frac{a-{b}^{2}}{2b}$，显然当a＜b²时式子恒成立，
∴f（x）=$\sqrt{|x|}$是“控制增长函数”；
对于③，∵-1≤f（x）=sin（x²）≤1，∴f（x+a）-f（x）≤2，
∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x²）是“控制增长函数”；
对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，
∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，
∴f（x）=xsinx是“控制增长函数”．
故选C．

点评 本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．