Question

17．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3
S₁=$[{\sqrt{1}}]+[{\sqrt{2}}]+[{\sqrt{3}}]=3$
S₂=$[{\sqrt{4}}]+[{\sqrt{5}}]+[{\sqrt{6}}]+[{\sqrt{7}}]+[{\sqrt{8}}]=10$
S₃=$[{\sqrt{9}}]+[{\sqrt{10}}]+[{\sqrt{11}}]+[{\sqrt{12}}]+[{\sqrt{13}}]+[{\sqrt{14}}]+[{\sqrt{15}}]=21$，…
依此规律，那么S₁₀=210．

Answer 1

分析 由已知可得S_n=[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n-1}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=n×（2n+1），代值计算即可

解答 解：[x]表示不超过x的最大整数，
S₁=$[{\sqrt{1}}]+[{\sqrt{2}}]+[{\sqrt{3}}]=3$=1×3
S₂=$[{\sqrt{4}}]+[{\sqrt{5}}]+[{\sqrt{6}}]+[{\sqrt{7}}]+[{\sqrt{8}}]=10$=2×5
S₃=$[{\sqrt{9}}]+[{\sqrt{10}}]+[{\sqrt{11}}]+[{\sqrt{12}}]+[{\sqrt{13}}]+[{\sqrt{14}}]+[{\sqrt{15}}]=21$=3×7，
…
∴S_n=[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n-1}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=n×（2n+1），
∴S₁₀=10×21=210，
故答案为：210

点评 本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于中档题