Question

12．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，点D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若点E为A₁C上的点，且满足A₁E=mEC（m∈R），三棱锥E-ADC的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积之比为1：12，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁C交AC₁于F，则F为AC₁的中点，由三角形中位线定理可得A₁B∥DF，再由线面平行的判定可得A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）由A₁E=mEC，可知E在直线A₁C上，过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，设EM=h，利用三棱锥E-ADC的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积之比为1：12求得$h=\frac{3}{2}$，可知E为AC₁的中点，故m=1．

解答 （Ⅰ）证明：连接A₁C交AC₁于F，则F为AC₁的中点，
连接DF，则A₁B∥DF，而DF?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）解：∵A₁E=mEC，
过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，
设EM=h，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}CD•AD•h$=$\frac{1}{12}×\frac{1}{2}BC•AD•A{A_1}$，
即$h=\frac{3}{2}$，
∴E为AC₁的中点，故m=1．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，是中档题．