Question

4．已知函数$f（x）=\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立．
（1）求实数t的最大值；
（2）当t取最大时，求不等式$|{x+\frac{t}{5}}|+|{2x-1}|≤6$的解集．

Answer 1

分析 （1）问题转化为t≤f（x）_min，根据不等式的性质求出t的范围即可；
（2）原式变为|x+5|+|2x-1|≤6，通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）因为$f（x）=\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立，
所以只需t≤f（x）_min，
又因为$f（x）=\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}=（{\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}}）$$（{{{sin}^2}x+{{cos}^2}x}）=13+\frac{{9{{cos}^2}x}}{{{{sin}^2}x}}+\frac{{4{{sin}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}$
$≥13+2\sqrt{9×4}=25$，
所以t≤25，即t的最大值为25．
（2）t的最大值为25时原式变为|x+5|+|2x-1|≤6，
当$x≥\frac{1}{2}$时，可得3x+4≤6，解得$\frac{1}{2}≤x≤\frac{2}{3}$；
当x≤-5时，可得-3x-4≤6，无解；
当$-5≤x≤\frac{1}{2}$时，可得-x+6≤6，可得$0≤x≤\frac{1}{2}$；
综上可得，原不等式的解集是$\left\{{x|0≤x≤\frac{2}{3}}\right\}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．