Question

19．三角形ABC的角A．B．C的对边分别为a．b．c．已知10acosB=3bcosA，$cosA=\frac{{5\sqrt{26}}}{26}$，则C=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 $cosA=\frac{{5\sqrt{26}}}{26}$，A∈（0，π），可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．由10acosB=3bcosA，利用正弦定理可得：10sinAcosB=3sinBcosA，可得2cosB=3sinB，与sin²B+cos²B=1联立解得：cosB（＞0），sinB．再利用cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB即可得出．

解答 解：∵$cosA=\frac{{5\sqrt{26}}}{26}$，A∈（0，π），∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{\sqrt{26}}$．
∵10acosB=3bcosA，∴10sinAcosB=3sinBcosA，
∴10×$\frac{1}{\sqrt{26}}$cosB=3sinB×$\frac{5\sqrt{26}}{26}$，
∴2cosB=3sinB，
又sin²B+cos²B=1．
联立解得：cosB=±$\frac{3}{\sqrt{13}}$，sinB=$\frac{2}{\sqrt{13}}$．
取cosB=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
则cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{1}{\sqrt{26}}$×$\frac{2}{\sqrt{13}}$-$\frac{5\sqrt{26}}{26}$×$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
C∈（0，π）．
∴C=$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．