Question

8．四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{81π}{5}$
• B． $\frac{81π}{20}$
• C． $\frac{101π}{5}$
• D． $\frac{101π}{20}$

Answer 1

分析 如图所示，四棱锥P-ABCD．对角线AC∩BD=F点，取AD的中点E，设此四棱锥外接球的半径为r，连接OP，OF，OA．设OF=x，则${x}^{2}+（\frac{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}{2}）^{2}$=$（\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}-x）^{2}$+1，解得x即可得出．

解答 解：如图所示，四棱锥P-ABCD．
对角线AC∩BD=F点，取AD的中点E，设此四棱锥外接球的半径为r，连接OP，OF，OA．
设OF=x，则${x}^{2}+（\frac{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}{2}）^{2}$=$（\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}-x）^{2}$+1，
解得x=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$．
∴r=OB=$\sqrt{（\frac{1}{2\sqrt{5}}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{101}{20}}$．
该四棱锥的外接球的表面积=4πr²=$\frac{101π}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了四棱锥的三视图、球的表面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．