Question

17．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为1，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₄成等比数列，则$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{15}}}}$=$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 利用等差数列通项公式和a₁，a₂，a₄成等比数列，求出d=1，从而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂项求和法能求出$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{15}}}}$的值．

解答 解：∵公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为1，前n项和为S_n，
且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴${{（a}_{1}+d）}^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，
即（1+d）²=1+3d，
解得d=1或d=0（舍），
∴S_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{15}}}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}$）=$\frac{15}{8}$．
故答案为：$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查等差数列中前n项和的倒数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．