Question

2．已知函数f（x）=9^x-m3^x+m+1，x∈（0，+∞）的图象都在x轴的上方，则m的取值范围是m＜2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 本题通过换元法将原函数转化为二次函数，然后结合二次函数的特点进行分类解题．即△=（-m）²-4（m+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{m}{2}＜1}\\{1-m+1+m＞0}\end{array}\right.$，都满足题意．

解答 解：令t=3^x，则问题转化为函数f（t）=t²-mt+m+1对t∈（1，+∞）的图象恒在x轴的上方
即△=（-m）²-4（m+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{\frac{m}{2}＜1}\\{1-m+1+m＞0}\end{array}\right.$，
解得m＜2+2$\sqrt{2}$．
故答案为m＜2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了指数函数的图象与性质，二次函数的性质，还有通过换元法将原函数转化为二次函数，属于基础题．