Question

2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
证明：（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD；
（3）点F到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；
（3）通过求解三角形可得BE、BF、EF的长度，然后利用等积法求点F到平面BDE的距离．

解答 （1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
∴在△PAC中，EO是中位线，得PA∥EO，
∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC，则DE⊥平面PBC．
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．
又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD；
（3）∵PD=DC=2，PC=2$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{3}$，PE=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{EF}{PE}=\frac{BC}{PB}$，∴EF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，FB=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
DE=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{D{B}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{6}$．
设点F到平面BDE的距离为h，
由V_B-EFD=V_D-BEF，得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×EF×BF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×BE×h$，
∴h=$\frac{EF×BF}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查线面平行和线面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．