Question

7．已知函数f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（x）在区间[0，m]上的最小值；
（2）在给出的直角坐标系中，作出函数g（x）=f（|x|）的图象，并根据图象写出其单调减区间；
（3）若关于x的方程f（|x|）-a=x至少有三个不相等的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）配方，分类讨论，即可求f（x）在区间[0，m]上的最小值；
（2）根据解析式，作出函数f（|x|）的图象，根据从左到右下降对应函数的单调递减区间；
（3）线y=x+a与y=x²+4x+3相切时，a=$\frac{3}{4}$，直线过（0，3）时，a=3，即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
m＜2，∴x=m时，f（x）在区间[0，m]上的最小值为m²-4m+3；
m≥2，∴x=2时，f（x）在区间[0，m]上的最小值为-1；
∴f（x）在区间[0，m]上的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4m+3，m＜2}\\{-1，m≥2}\end{array}\right.$；
（2）函数f（|x|）=x²-4|x|+3的图象如图所示  

函数f（|x|）=x²-4|x|+3的单调递减区间是（-∞，-2）和（0，2）；
（3）直线y=x+a与y=x²+4x+3相切时，a=$\frac{3}{4}$，
直线过（0，3）时，a=3，
∵关于x的方程f（|x|）-a=x至少有三个不相等的实根，∴$\frac{3}{4}$≤a≤3．

点评 此题主要考查二次函数的性质及其图象的应用，是一道中档题，根据二次函数图象和性质，画出函数的图象是解答的关键．