Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x．
（1）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-4x，x∈[-3，2]，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；（2）求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2x+1≥0，
故f（x）在[-1，2]递增，
f（x）_max=f（2）=$\frac{2}{3}$，f（x）_min=f（-1）=-$\frac{1}{3}$；
（2）g（x）=f（x）-4x=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，x∈[-3，2]，
g′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令g′（x）＞0，解得：x＜-1，令g′（x）＜0，解得：x＞-1，
故g（x）在[-3，-1]递增，在[-1，2]递减．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．