Question

3．在四边形ABCD中，若AB=2，$BC=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}CD$，$\overrightarrow{AC}\overrightarrow{•CD}=0$，则$|{\overrightarrow{BD}}|$的最大值为6．

Answer 1

分析 由题意可得AC⊥CD，设CD=x，可得AD=$\sqrt{2}$x，AC=x，设∠ACB=α，运用余弦定理，求出BD关于x的关系式，结合基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：AB=2，$BC=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}CD$，$\overrightarrow{AC}\overrightarrow{•CD}=0$，
可得AC⊥CD，
设CD=x，可得AD=$\sqrt{2}$x，AC=x，
设∠ACB=α，可得BD²=DC²+BC²-2DC•BC•cos（90°+α）
=x²+8-4$\sqrt{2}$x•（-sinα）=x²+8+4$\sqrt{2}$x•sinα，
在△ABC中，可得cosα=$\frac{{x}^{2}+8-4}{4\sqrt{2}x}$=$\frac{{x}^{2}+4}{4\sqrt{2}x}$，
sinα=$\frac{\sqrt{-{x}^{4}+24{x}^{2}-16}}{4\sqrt{2}x}$，
则BD²=x²+8+$\sqrt{-（{x}^{2}-12）^{2}+128}$=（x²-12）+$\sqrt{-（{x}^{2}-12）^{2}+128}$+20
要求$|{\overrightarrow{BD}}|$的最大值，则x²-12＞0，
再由a²+b²≥2ab，可得（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，（a=b取得等号），
可得a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$．
即有BD²≤$\sqrt{2[（{x}^{2}-12）^{2}-（{x}^{2}-12）^{2}+128]}$+20=16+20=36，
当x²-12=8，即x=2$\sqrt{5}$时，则$|{\overrightarrow{BD}}|$的最大值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查向量垂直的条件：数量积为0，以及基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．