Question

8．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3），
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）直线的参数方程改写为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=3+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$，代入y²=16x，利用参数的几何意义求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-16cosθ=0，即ρ²sin²θ=16ρcosθ，曲线C的直角坐标方程为y²=16x，
（2）直线的参数方程改写为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=3+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$，
代入y²=16x，$\frac{4}{5}{t^2}-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}t-7=0$，${t_1}+{t_2}=\sqrt{5}$，${t_1}{t_2}=-\frac{35}{4}$，
$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=|{\frac{{{t_1}-{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}}|=\frac{{8\sqrt{10}}}{35}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．