Question

19．已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，S₄=8+6d，
由条件得方程组$\left\{\begin{array}{l}2+3d+2{q^3}=27\\ 8+6d-2{q^3}=10\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}d=3\\ q=2\end{array}$，故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（2）T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+5×2³+8×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=8-8×2ⁿ+3n×2ⁿ⁺¹．

点评 本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．