Question

4．点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F₁，F₂，直线PF₁与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，则$\frac{{S}_{△O{F}_{1}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$的值为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质分别求得D和A的纵坐标，根据三角形的面积公式，即可求得答案．

解答 解：由题意，线段PF₁的垂直平分线恰过点F₂，垂直为D，AD为△F₁F₂D的中位线，
则y_D=2y_A=$\frac{1}{2}$y_p，y_A=$\frac{1}{4}$y_p，
∴$\frac{{S}_{△O{F}_{1}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}•c•{y}_{A}}{\frac{1}{2}•2c•{y}_{D}}$=$\frac{1}{8}$，
则$\frac{{S}_{△O{F}_{1}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．