Question

14．在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A+$\sqrt{3}$sin（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10$\sqrt{3}$，c=5，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos2A+$\sqrt{3}$sin（B+C）=1，可得：cos2A-$\sqrt{3}$sinA=1，再利用倍角公式即可得出．
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}$bcsinA=10$\sqrt{3}$，c=5，解得b，由余弦定理得：a²，利用正弦定理可得sinBsinC=$\frac{bsinA}{a}×\frac{csinA}{a}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由cos2A+$\sqrt{3}$sin（B+C）=1，可得：cos2A-$\sqrt{3}$sinA=1，
∴2sin²A=$\sqrt{3}$sinA，sinA∈（-1，1）．
解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=60°．
（Ⅱ）S=$\frac{1}{2}$bcsinA=10$\sqrt{3}$，c=5，解得b=8，由余弦定理得：a²=5²+8²-2×5×8cos60°=49，
∴sinBsinC=$\frac{bsinA}{a}×\frac{csinA}{a}$=$\frac{30}{49}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、诱导公式、三角形面积计算公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．