Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4
（1）若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=-20，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角及|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|
（2）在矩形ABCD中，CD的中点为E，BC的中点为F，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，试用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，并求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$ 的值．
（2）根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，再利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=-20，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=2•4•cosθ-16=-20，求得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2π}{3}$．
∴|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{9\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{36+16+6•2•4•（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$．
（2）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{2}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{\overrightarrow{b}}{2}$，
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\overrightarrow{a}}{2}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\frac{\overrightarrow{b}}{2}$）=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{2}$+$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}}{2}$+$\frac{5\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{4}$=$\frac{4}{2}$+$\frac{16}{2}$+0=10．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．