Question

1．某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是$\frac{2}{3}$，且每题正确完成与否互不影响．
（I） 求甲考生通过的概率；
（II） 求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，和甲、乙两考生的数学期望；
（Ⅲ）请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．

Answer 1

分析 （Ⅰ）考生甲要通过实验考查，必须正确完成至少2道，利用对立事件概率计算公式能求出甲考生通过的概率．
（Ⅱ）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出考生乙正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望．
（Ⅲ）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵考生从6道备选题中随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，
规定：至少正确完成其中的2道题便可通过．
己知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道题不能完成，
∴甲考生通过的概率P=1-$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）由题意知甲考生正确完成题数X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的可能取值为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{3}{5}$=$\frac{16}{5}$．
乙两考生正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，
P（Y=0）=${C}_{3}^{0}$（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴Y的分布列是：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

EY=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}+3×\frac{8}{27}$=2．
（Ⅲ）DX=（1-2）²×$\frac{1}{5}$+（2-2）²×$\frac{3}{5}$+（3-2）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∵Y∽B（3，$\frac{2}{3}$），∴DY=3×$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$
∴DX＜DY，
∵P（X≥2）=$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=0.8$，P（Y≥2）=$\frac{12}{27}+\frac{8}{27}$≈0.74
∴P（X≥2）＞P（Y≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强．

点评 本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查概率知识 的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．