Question

13．已知函数f（x）=2.5cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，M、N两点之间的距离为13，且f（3）=0，若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t的最小值为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由已知可求周期，利用周期公式可求ω，由f（3）=0，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，利用三角函数平移变换的规律可求将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数的图象对应的函数解析式，利用三角函数的图象和性质可得：-$\frac{π}{13}$t+$\frac{7π}{26}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：t=-13k-3，k∈Z，从而可求正数t的最小值．

解答 解：∵M、N两点之间的距离为13，可得$\frac{2π}{ω}$=2×13，
∴解得：ω=$\frac{π}{13}$，
∵f（3）=0，可得：2.5cos（$\frac{π}{13}$×3+φ）=0，
∴解得：$\frac{π}{13}$×3+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：φ=kπ+$\frac{7π}{26}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{7π}{26}$，
∴将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数的图象对应的函数解析式为：y=2.5cos[$\frac{π}{13}$×（x-t）+$\frac{7π}{26}$]=2.5cos（$\frac{π}{13}$x-$\frac{π}{13}$t+$\frac{7π}{26}$），
∵函数的图象关于坐标原点对称，可得：-$\frac{π}{13}$t+$\frac{7π}{26}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：t=-13k-3，k∈Z．
∴当k=-1时，正数t的最小值为10．
故选：D．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，三角函数平移变换的规律，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．