Question

4．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若$cosB=\frac{1}{4}，b=3$，sinC=2sinA，则△ABC的面积为$\frac{9\sqrt{15}}{16}$．

Answer 1

分析 由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：在△ABC中由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
由sinC=2sinA，则c=2a，
cosB=$\frac{1}{4}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，即3²=a²+（2a）²-2a•2a×$\frac{1}{4}$，
解得a=$\frac{3}{2}$，c=3，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{9\sqrt{15}}{16}$，
故答案为：$\frac{9\sqrt{15}}{16}$，．

点评 本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．