Question

14．已知方程|ln|x-2||=m（x-2）²，有且仅有四个解x₁，x₂，x₃，x₄，则m（x₁+x₂+x₃+x₄）=$\frac{4}{e}$．

Answer 1

分析 作出两侧函数的图象，根据对称性可知x₁+x₂+x₃+x₄=8，根据图象有4个交点可知两图象相切，利用导数的几何意义求出m即可计算答案．

解答 解：令f（x）=|ln|x-2||，g（x）=m（x-2）²，
则f（x）与g（x）的图象均关于直线x=2对称，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=8，
作出f（x）与g（x）的函数图象如图所示：

∵方程|ln|x-2||=m（x-2）²有且仅有四个解，
∴y=m（x-2）²与y=ln（x-2）相切，
设切点为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=m（{x}_{0}-2）^{2}}\\{{y}_{0}=ln（{x}_{0}-2）}\\{2m（{x}_{0}-2）=\frac{1}{{x}_{0}-2}}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{e}$+2，m=$\frac{1}{2e}$．
∴m（x₁+x₂+x₃+x₄）=$\frac{4}{e}$．
故答案为：$\frac{4}{e}$．

点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．