Question

6．已知函数$f（x）=（\frac{x^2}{2}-kx）lnx+\frac{x^2}{4}$．
（Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数k的值；
（Ⅱ）若f（x）的极小值大于0，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出k的值即可；
（Ⅱ）通过讨论k的范围，判断f′（x）的符号，得到函数f（x）的单调区间，求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意可知f'（x）=（x-k）（lnx+1），令f'（x）=0，可得x₁=k，${x_2}=\frac{1}{e}$．
若x₁≠x₂，则在x₁，x₂之间存在一个区间，使得f'（x）＜0，不满足题意．
因此x₁=x₂，即$k=\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）当$k＜\frac{1}{e}$时，若k＞0，则f'（x）在$（k，\frac{1}{e}）$上小于0，在$（\frac{1}{e}，+∞）$上大于0，
若k≤0，则f'（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上小于0，在$（\frac{1}{e}，+∞）$上大于0，
因此$x=\frac{1}{e}$是极小值点，$f（\frac{1}{e}）=\frac{k}{e}-\frac{1}{{4{e^2}}}＞0$，解得$k＞\frac{1}{4e}$．
当$k＞\frac{1}{e}$时，f'（x）在$（\frac{1}{e}，k）$上小于0，在（k，+∞）上大于0，
因此x=k是极小值点，$f（k）=\frac{k^2}{4}（1-2lnk）＞0$，解得$k＜\sqrt{e}$．
当$k=\frac{1}{e}$时，f（x）没有极小值点，不符合题意．
综上可得$k∈（\frac{1}{4e}，\frac{1}{e}）∪（\frac{1}{e}，\sqrt{e}）$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．