Question

17．在数列{a_n}中，a₁=2，若平面向量$\overrightarrow{b_n}=（2，n+1）$与$\overrightarrow{c_n}=（-1+{a_{n+1}}-{a_n}，{a_n}）$平行，则{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{（n+16）（n-1）}{6}$+2．

Answer 1

分析 平面向量$\overrightarrow{b_n}=（2，n+1）$与$\overrightarrow{c_n}=（-1+{a_{n+1}}-{a_n}，{a_n}）$平行，可得2a_n=（n+1）（-1+a_n+1-a_n），整理为：（n+3）a_n+（n+1）=（n+1）a_n+1，利用递推关系可得：（a_n+2-a_n+1）+（a_n-a_n-1）=2（a_n+1-a_n），转化为等差数列，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{b_n}=（2，n+1）$与$\overrightarrow{c_n}=（-1+{a_{n+1}}-{a_n}，{a_n}）$平行，
∴2a_n=（n+1）（-1+a_n+1-a_n），整理为：（n+3）a_n+（n+1）=（n+1）a_n+1，
n≥2时，（n+2）a_n-1+n=na_n，相减可得：（2n+3）a_n+1-（n+2）a_n-1=（n+1）a_n+1，
∴（2n+5）a_n+1+1-（n+3）a_n=（n+2）a_n+2．
相减可得：3a_n+1-3a_n=a_n+2+a_n-1．
∴（a_n+2-a_n+1）+（a_n-a_n-1）=2（a_n+1-a_n），
又a₁=2，∴a₂=5，a₃=$\frac{25}{3}$．
∴数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为3，公差为$\frac{1}{3}$．
∴a_n+1-a_n=3+$\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n+8}{3}$．
∴a_n=$\frac{n+7}{3}$+$\frac{n+6}{3}$+…+$\frac{1+8}{3}$+2
=$\frac{1}{3}×\frac{（n-1）（9+n+7）}{2}$+2=$\frac{（n+16）（n-1）}{6}$+2．
故答案为：a_n=$\frac{（n+16）（n-1）}{6}$+2．

点评 本题考査了累加求和方法、等差数列的求和公式、数列递推关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．