Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n=1-2S_n．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）设函数$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}x，{b_n}=f（{a_1}）+f（{a_2}）+…+f（{a_n}）$，求T_n=$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n=1-2S_n．可得a₁=1-2a₁，解得a₁．n≥2时，a_n-1=1-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n．即可证明．
（2）a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．f（a_n）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}$=n．可得b_n，$\frac{1}{{b}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n=1-2S_n．∴a₁=1-2a₁，解得a₁=$\frac{1}{3}$．
n≥2时，a_n-1=1-2S_n-1，可得a_n-a_n-1=-2a_n．∴${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$．
∴数列{a_n}为等比数列，公比为$\frac{1}{3}$．
（2）解：a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
f（a_n）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}$=n．
∴b_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考査了等比数列的通项公式、“裂项求和法”、对数的运算性质，、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．