Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n-S_nS_n-1=1（n≥2）．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄并猜想S_n的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1+30{a}_{n}}$，n∈N*，求b_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n-S_nS_n-1=1（n≥2）．可得$2{S}_{2}-{S}_{2}×\frac{1}{2}$=1，解得S₂．同理可得：S₃，S₄．猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$．
（2）由（1）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n（n+1）}$．可得b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1+30{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+\frac{30}{n}+1}$，利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n-S_nS_n-1=1（n≥2）．∴$2{S}_{2}-{S}_{2}×\frac{1}{2}$=1，解得S₂=$\frac{2}{3}$．
同理可得：S₃=$\frac{3}{4}$，S₄=$\frac{4}{5}$．
猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$．
（2）由（1）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．
b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1+30{a}_{n}}$=$\frac{n×\frac{1}{n（n+1）}}{1+30×\frac{1}{n（n+1）}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+n+30}$=$\frac{1}{n+\frac{30}{n}+1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{30}{n}}+1}$，n∈N*，
b₅=$\frac{1}{12}$，b₆=$\frac{1}{12}$．
∴b_n的最大值为$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、基本不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．