Question

20．已知椭圆M：（x-2）²+y²=4，则过点（1，1）的直线中被圆M截得的最短弦长为2$\sqrt{2}$．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，过AC₁的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为（　　）

• A． π
• B． 4π
• C． 5π
• D． 6π

Answer 1

分析 由题意，求出正方体的体对角线长，得到球心O到过AC₁的一个三等分点的球O的截面的距离，再求出球的半径，可得最小截面的圆的半径，即可求出最小截面的面积．

解答 解：由题意，正方体的体对角线长为$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{3}$，
则球心O到过AC₁的一个三等分点的球O的截面的距离为$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×3\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
球的半径为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴最小截面的圆的半径为$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴最小截面的面积为π•（$\sqrt{6}$）²=6π．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查类比推理的运用，考查学生的计算能力，是基础题．