Question

15．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABD；
（2）求二面角G-AC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在等腰梯形ABCD中，可得∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°，在三棱锥A-BCD中，由点A在平面BCD上的投影G落在BD上，得CD⊥面ABD，又CD?面ADC，即平面ACD⊥平面ABD；
（2）取BC中点M，则MG∥CD，于是以G为原点，建立如图的空间直角坐标系G-xyz，设AB=1，则BD=$\sqrt{3}$，BC=2，CD=1，于是A（0，0，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0）．，C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，0），D（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），利用法向量求解．

解答 解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，从而∠ABD=∠ADB=30°，可得∠BDC=90°，
在三棱锥A-BCD中，∵点A在平面BCD上的投影G落在BD上，∴AG⊥BD，于是G为BD中点．
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG⊥CD}\\{CD⊥DB}\\{AG∩DB=G}\end{array}\right.$∴CD⊥面ABD，又CD?面ADC，∴平面ACD⊥平面ABD
（2）由（1）得AG⊥面BCD，且G为BD中点，CD⊥面ABD，
取BC中点M，则MG∥CD，于是以G为原点，建立如图的空间直角坐标系G-xyz，
设AB=1，则BD=$\sqrt{3}$，BC=2，CD=1，于是A（0，0，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0）．，C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，0），D（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0）
$\overrightarrow{GC}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，1，0），\overrightarrow{GA}=（0，0，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{DA}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，0，\frac{1}{2}），\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$．
设面AGC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GC}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GA}=\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（2，\sqrt{3}，0）$，
设面ADC的法向量为$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=b=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（1，0，-\sqrt{3}$）
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{2×\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
二面角G-AC-D的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．