Question

4．已知数列{a_n}，S_n是其前n项和，且满足2a_n=S_n+n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）设b_n=log₂（a_n+1），且M_n为数列{b_n}的前n项和，求数列$\left\{{\frac{1}{M_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列的定义即可证明．
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 （l）证明：∵2a_n=S_n+n，∴a₁=1，
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+n-1，即a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2a_n-1+1+1=2（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴M_n=$\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．
∴$\frac{1}{M_n}=\frac{2}{{n（{n+1}）}}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
故数列$\left\{{\frac{1}{M_n}}\right\}$的前n项和${T_n}=2[{（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}]=2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考査了等比数列的通项公式、“错位相减法”、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．