Question

13．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，且AE⊥平面CDE，且∠DAE=30°
（1）求证：平面ABE⊥平面ADE
（2）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：AB⊥平面ADE，利用面面垂直的判定定理，证明平面ABE⊥平面ADE
（2）利用等体积方法，求点A到平面BDE的距离．；

解答 （1）证明：∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD∥AB，
∴AB⊥平面ADE，
∵AB?平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．
（2）解：∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，
∵∠DAE=30°，AD=2，∴DE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面ADE，
∴AB⊥AE，AB⊥DE，
∴BE=$\sqrt{7}$，BD=2$\sqrt{2}$，
∴DE²+BE²=BD²，
∴BE⊥DE，
设点A到平面BDE的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×AE×DE×AB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$BE×DE×h，
∴h=$\frac{\sqrt{3}×2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查点面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．