Question

16．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线l，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得直线l方程，与双曲线的渐近线方程联立求得B，C，根据向量的坐标运算，即可求得b和a的关系，利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．

解答 解：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右顶点A（a，0），则直线l：y=-x+a，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{bx-ay=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{a+b}}\\{y=\frac{ab}{a+b}}\end{array}\right.$，则B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{bx+ay=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{a-b}}\\{y=-\frac{ab}{a-b}}\end{array}\right.$，则C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{ab}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，
∴-$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，b=2a，
∴c²=a²+b²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程及离心率公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．