Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，AB=1．
（1）求证：B₁O⊥平面ACM；
（2）求三棱锥O-AB₁M的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理证明能证明B₁O⊥平面ACM．
（2）由${V}_{O-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-O{B}_{1}M}$，利用锥体的体积公式求出三棱锥O-AB₁M的体积．

解答 证明：（1）∵AC⊥BD，DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，且BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
OB₁?平面BDD₁B₁，∴B₁O⊥AC，
连结B₁M，在△B₁MO中，$M{O}^{2}={1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=3，
${B}_{1}{O}^{2}={2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=6$，${B}_{1}{M}^{2}={1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}=9$，
∴${B}_{1}{M}^{2}=M{O}^{2}+{B}_{1}{O}^{2}$，
∴B₁O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B₁O⊥平面AMC．
解：（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，
∴AC⊥BD，AC⊥DM，
∵BD∩DM=D，∴AO⊥平面OB₁M，
∴三棱锥O-AB₁M的体积：
${V}_{O-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-O{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×AO×{S}_{△O{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．