Question

16．在Rt△ABC中，CA=4，CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=2，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围为（　　）

• A． $[2，\frac{5}{2}]$
• B． [4，6]
• C． $[\frac{119}{25}，\frac{48}{5}]$
• D． $[\frac{144}{25}，\frac{53}{5}]$

Answer 1

分析 可以C为坐标原点，CA为x轴建立平面直角坐标系，可得出A，B点的坐标，进而写出直线AB的方程，从而可设$M（a，3-\frac{3}{4}a），N（b，3-\frac{3}{4}b）$，根据MN=2即可得出$b=a+\frac{8}{5}$，进而求出$0≤a≤\frac{12}{5}$，并求出$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=\frac{25}{16}{a}^{2}-2a+\frac{27}{5}$，这样配方即可求出$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的最小、最大值，即得出其取值范围．

解答 解：如图，以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则：

A（4，0），B（0，3）；
直线AB的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$，即$y=3-\frac{3}{4}x$；
设$M（a，3-\frac{3}{4}a），N（b，3-\frac{3}{4}b）$，且0≤a≤4，0≤b≤4，且a＜b；
∵MN=2；
∴$（a-b）^{2}+\frac{9}{16}（a-b）^{2}=4$；
∴$（a-b）^{2}=\frac{64}{25}$；
∴$b-a=\frac{8}{5}$；
∴$b=a+\frac{8}{5}$；
∴$0≤a≤\frac{12}{5}$；
$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=ab+（3-\frac{3}{4}a）（3-\frac{3}{4}b）$
=$\frac{25}{16}ab-\frac{9}{4}（a+b）+9$
=$\frac{25}{16}{a}^{2}-2a+\frac{27}{5}$
=$\frac{25}{16}（a-\frac{16}{25}）^{2}+\frac{119}{25}$，$0≤a≤\frac{12}{5}$；
∴$a=\frac{16}{25}$时，取最小值$\frac{119}{25}$；
$a=\frac{12}{5}$时，取最大值$\frac{48}{5}$；
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的取值范围为$[\frac{119}{25}，\frac{48}{5}]$．
故选C．

点评 考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，直线的斜截式方程，数量积的坐标运算，以及配方求二次函数最值的方法．