Question

12．点M，N分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁和B₁C₁的中点，则MN和CD₁所成角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN和CD₁所成角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则M（2，2，1），N（1，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{MN}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
设MN和CD₁所成角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴MN和CD₁所成角的大小为60°．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是基础题．