Question

11．在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=-1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）以曲线C上的点P（x₀，y₀）（y₀＞0）为切点作曲线C的切线l₁，设l₁分别与x，y轴交于A，B两点，且l₁恰与以定点M（a，0）（a＞2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△PAM面积的比．

Answer 1

分析 （1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；
（2）由y＞0时，求导，求得切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a-2，2$\sqrt{a-1}$）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△ABF与△PAM面积的比．

解答 解（1）由题意得丨PH丨=丨PF丨，
∴点P到直线：x=-1的距离等于它到定点F（1，0）的距离，…（2分）
∴点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，
设抛物线方程y²=2px，则$\frac{p}{2}$=1，则p=2，
∴点P的轨迹C的方程为y²=4x； …（4分）
（2）由y²=4x，当y＞0时，$y=2\sqrt{x}$，∴$y'=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
∴以P为切点的切线l₁的斜率为$k=\frac{1}{{\sqrt{x_0}}}$，
∴以P（x₀，y₀）（y₀＞0）为切点的切线为$y-{y_0}=\frac{1}{{\sqrt{x_0}}}（{x-{x_0}}）$
即$y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x-\frac{y_0^2}{4}}）$，整理得${l_1}：4x-2{y_0}y+y_0^2=0$…（6分）
令x=0，则y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，则B（0，$\frac{{y}_{0}}{2}$），令y=0，则x=-$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=-x₀，
A（-x₀，0），…（7分）
点M（a，0）到切线l的距离d=$\frac{{y}_{0}^{2}+4a}{2\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}{2}$+$\frac{2a-2}{\sqrt{{y}_{0}^{2}+4}}$≥2$\sqrt{a-1}$，
（当且仅当y₀=2$\sqrt{a-1}$时，取等号）．
∴当P（a-2，2$\sqrt{a-1}$）时，满足题意的圆M的面积最小． …（9分）
∴A（2-a，0），B（0，$\sqrt{a-2}$），
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$丨1-（2-a）丨•丨$\sqrt{a-2}$丨=$\frac{1}{2}$（a-1）$\sqrt{a-2}$，
S_△PAM=$\frac{1}{2}$丨a-（2-a）丨•丨2$\sqrt{a-2}$丨=2（a-1）$\sqrt{a-2}$，…（11分）
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△PAM}}$=$\frac{1}{4}$，
△ABF与△PAM面积的比$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义及标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查曲线切线方程的求法，点到直线的距离公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．