Question

3．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F，且△MFN的面积为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点．以AB为底作等腰三角形，顶点为P（-3，2），求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意方程，求得c=$\sqrt{2}$b，根据三角形的面积公式，求得bc=4$\sqrt{2}$，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得m的值，代入求得A和B的坐标，利用两点之间坐标公式及三角形的面积公式，即可求得△PAB的面积．

解答 解：（1）∵椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），c²=3b²-b²=2b²，即c=$\sqrt{2}$b，
由△MFN的面积为4$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{2}$×2b×c=4$\sqrt{2}$，即bc=4$\sqrt{2}$，
则b=2，a²=3b²=12，
∴椭圆G的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；（2）设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{2}$，
因为AB是等腰△PAB的底边，则PE⊥AB．
∴PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得m=-2，
此时方程①为4x²+12x=0，解得x₁=-3，x₂=0，
∴y₁=-1，y₂=2．
∴|AB|=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（-1-2）^{2}}$=33$\sqrt{2}$．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离d=$\frac{丨-3-2+2丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{9}{2}$，
△PAB的面积$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．