Question

13．等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n；数列{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₂+S₃=8．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得a_n•b_n=n•2^n-1．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，{b_n}的公比为q，
则a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1．
由b₂S₂=6，b₂+S₃=8，
有q（2+d）=6，q+3+3d=8，
解得d=1，q=2，或q=9，d=-$\frac{4}{3}$（舍去），
故a_n=n，b_n=2^n-1．
（2）a_n•b_n=n•2^n-1．
前n项和为T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，
2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ．
两式相减可得-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ．
化简可得T_n=1+（n-1）•2ⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．