Question

19．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（I）求证：CF∥平面A₁DE；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 先分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），再写出向量$\overrightarrow{D{A}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$，的坐标，求出平面A₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$．
（1）利用向量坐标之间的关系证得$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=0$，从而得出CF∥平面A₁DE．（2）利用法向量，利用向量的夹角公式求二面角A₁-DE-A的余弦值．

解答 解：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角
坐标系，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0）．
设平面A₁DE的法向量是$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2a+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=a+2b=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-2，1，2）．
（1）由$\overrightarrow{CF}$=（0，-2，1），得$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{n}=0$，从而得出CF∥平面A₁DE．
（2）面DEA的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$．
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{1×3}=\frac{2}{3}$．
∴面角A₁-DE-A的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本小题主要考查直线与平面平行的判，向量法求二面角，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于中档题．