Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=-13，a₆+a₈=-2，且a_n-1=2a_n-a_n+1（n≥2），则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前13项和为（　　）

• A． $\frac{1}{13}$
• B． -$\frac{1}{13}$
• C． $\frac{1}{11}$
• D． -$\frac{1}{11}$

Answer 1

分析 由条件可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，可得数列{a_n}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式解方程可得d，求得通项公式，以及$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-15）（2n-13）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：a_n-1=2a_n-a_n+1（n≥2），
可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
可得数列{a_n}为等差数列，设公差为d，
由a₁=-13，a₆+a₈=-2，即为2a₁+12d=-2，
解得d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=2n-15．
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-15）（2n-13）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-15}$-$\frac{1}{2n-13}$），
即有数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前13项和为$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{-13}$-$\frac{1}{-11}$+$\frac{1}{-11}$-$\frac{1}{-9}$+…+$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{13}$）=-$\frac{1}{13}$．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的递推式和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．