Question

13．（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；
（2）已知不等式|2x-1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较$\frac{1}{ab}$+1与$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的大小．（并说明理由）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义推出|3a+b|+|a-b|≥4|a|，转化所求解不等式为|x+1|+|x-1|≤4，推出结果即可．
（Ⅱ）利用作差法，结合已知条件推出结果即可．

解答 （Ⅰ）解：|3a+b|+|a-b|≥|3a+b+a-b|=4|a|，当且仅当（3a+b）（a-b）≥0时取等号，
只需：4|a|≥|a|（|x+1|+|x-1|），由于a≠0，只需|x+1|+|x-1|≤4，表示数轴上的点与-1，1的距离之和小于等于4，
所以：x的取值范围为：[-2，2]；
（Ⅱ）解得：M=（0，1），a∈M，b∈M知：$\frac{1}{ab}+1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{ab+1-a-b}{ab}=\frac{（a-1）（b-1）}{ab}$＞0，
即$\frac{1}{ab}+1＞\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$．

点评 本题考查绝对值不等式的几何意义，不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．