Question

3．已知$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{2}$sinx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，${cos}^{2}x-\frac{1}{2}$）（x∈R），且函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量条件，结合辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，求f（x）的对称轴方程；
（2）求出A，利用正弦定理，求b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，
即f（x）的对称轴方程为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
（2）f（A）=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=0，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，a=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b}{\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，∴b=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．