Question

8．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（-x）=f（2+x），f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g（0）=1，即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．
∴g（x）在R上单调递减．
∵f（-x）=f（2+x），
∴f（x+1）=f（-x+1），
∴函数关于x=1对称，
∴f（0）=f（2）=1，
原不等式等价为g（x）＜1，
∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1．
∴g（x）＜1?g（x）＜g（0），
∵g（x）在R上单调递减，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞），
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，属于难题．