Question

17．某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5-x）+（8-y）（单位：元）
（1）试用含有v、ω的代数式表示P；
（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．

Answer 1

分析 （1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，
（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．

解答 解：（1）由题意得：x=$\frac{50}{v}$，4≤v≤20，
y=$\frac{300}{ω}$，30≤ω≤100，
∴P=100+3（5-$\frac{50}{v}$）+（8-$\frac{300}{ω}$）=123-$\frac{150}{v}$-$\frac{300}{ω}$，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，
（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①
由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14   ②
因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分
目标函数p=100+3（5-x）+（8-y）=123-3x-y，
当x=11，y=3时，p 最小，
此时，p=123-33-3=87

点评 本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．