Question

5．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}公差为d，
∵a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴${a_3}^2={a_1}{a_9}$，
∴（1+2d）²=1×（1+8d）．
∴d=0（舍）或d=1，
∴a_n=n．
（2）令${b_n}={2^{a_n}}+n={2^n}+n$；
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹+1）+（2²+2）+（2³+3）+…+（2ⁿ+n）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}$=${2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$，
${S_n}={2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．